|
Как мы отмечали выше, если матричная игра содержит седловую точку, то ее решение находится по принципу минимакса. Если же платежная матрица не имеет седловой точки, то применение минимаксных стратегий каждым из игроков показывает, что игрок I обеспечит себе выигрыш не меньше а, а игрок II обеспечит себе проигрыш не больше B. Так как а < B, то игрок I стремится увеличить выигрыш, а игрок II — уменьшить проигрыш. Если информация о действиях противной стороны будет отсутствовать, то игроки будут многократно применять чистые стратегии случайным образом с определенной вероятностью. Такая стратегия в теории игр называется смешанной стратегией. Из сказанного следует, что смешанная стратегия игрока — это полный набор его чистых стратегий при многократном повторении игры в одних и тех же условиях с заданными вероятностями. Для применения смешанных стратегий требуются следующие условия:
1) в игре отсутствует седловая точка;
2) игроками используется случайная смесь чистых стратегий с соответствующими вероятностями;
3) игра многократно повторяется в одних и тех же условиях;
4) при каждом из ходов один игрок не информирован о выборе стратегии другим игроком;
5) допускается усреднение результатов игр.
В теории игр доказано, что любая парная конечная игра с нулевой суммой имеет по крайней мере одно решение в смешанных стратегиях. Отсюда следует, что каждая конечная игра имеет цену 2 — средний выигрыш, приходящийся на одну партию, удовлетворяющий условию а B. Каждый игрок при многократном повторении игры, придерживаясь смешанных стратегий, получает более выгодный для себя результат. Оптимальное решение игры в смешанных стратегиях обладает следующим свойством: каждый из игроков не заинтересован в отходе от своей оптимальной смешанной стратегии, если его противник применяет оптимальную смешанную стратегию, так как это ему невыгодно.
Стратегии игроков в их оптимальных смешанных стратегиях называются активными. В теории игр доказывается следующая теорема об активных стратегиях.
|
