|
Матрицей инцидентности ориентированного графа с п вершинами и m ребрами называется матрица В c n строками и т столбцами, элемент которой bij определяется следующим образом:
1, если вершина является началом ребра (i, j);
-1, если вершина является концом ребра (i, j);
2, если вершина и начало, и конец ребра (i, j);
0, если вершина и ребро не инцидентны.
Взвешенный ориентированный граф без петель, в котором выделено k-вершин, называемых полюсами, является k-полюсной цепью. Среди сетей особо выделяется двухполюсная транспортная сеть S — (N, U) с множеством вершин N и множеством дуг U, для которых выполняется следующее условие:
1) существует только одна вершина сети s N,В которую не заходит ни одна дуга. Эта вершина называется входом, или истоком сети;
2) существует только одна вершина сети t N, из которой не выходит ни одной дуги сети. Эта вершина называется выходом, или стоком сети;
3) каждой дуге сети и U поставлено в соответствие неотрицательное число с(u), называемое пропускной способностью дуги.
Примерами вершин сети могут быть пересечения автострад, электростанции, телефонные узлы, железнодорожные узлы, аэропорты, водохранилища, товарные склады.
Примерами дуг сети могут быть дороги, линии электропередачи, телефонные линии, авиалинии, водные магистрали, нефте- и газопроводы.
Постановку и решение подобных задач можно получить с помощью методов сетевого моделирования.
абота характеризует материальное действие, требующее использования ресурсов, или логическое, требующее лишь взаимосвязи событий. При графическом представлении работа изображается стрелкой, которая соединяет два события. Она обозначается парой заключенных в скобки чисел (i,j), где i
— номер события, из которого работа выходит, а j — номер события, в которое она входит. Работа не может начаться раньше, чем свершится событие, из которого она выходит. Каждая работа имеет определенную продолжительность t(i,j)-Например, запись t (2,5) = 4 означает, что работа (2,5) имеет продолжительность 5 единиц. К работам относятся также такие процессы, которые не требуют ни ресурсов, ни времени выполнения. Они заключаются в установлении логической взаимосвязи работ и показывают, что одна из них непосредственно зависит от другой; такие работы называются фиктивными и на графике изображаются пунктирными стрелками (см. работу (6,9)).
Событиями называются результаты выполнения одной или нескольких работ. Они не имеют протяженности во времени. Событие свершается в тот момент, когда оканчивается последняя из работ, входящая в него. События обозначаются одним числом и при графическом представлении сетевая модель изображаются кружком (или иной геометрической фигурой), внутри которого проставляется его порядковый номер (i = 1, 2, ..., n).
В сетевой модели имеется начальное событие (с номером 1), из которого работы только выходят, и конечное событие (с номером N), в которое работы только входят.
Путь — это цепочка следующих друг за другом работ, соединяющих начальную и конечную вершины, например, в приведенной выше модели путями являются L1 = (1, 2, 3, 7, 10, 11), L2 = (1, 2, 4, 6, 11) и др.
Продолжительность пути определяется суммой продолжительностей составляющих его работ. Путь, имеющий максимальную длину, называют критическим и обозначают LKp, а его продолжительность — tкр. Работы, принадлежащие критическому пути, называются критическими. Их несвоевременное выполнение ведет к срыву сроков всего комплекса работ.
Cетевая модель имеют ряд характеристик, которые позволяют определить степень напряженности выполнения отдельных работ, а также всего их комплекса и принять решение о перераспределении ресурсов.
Перед расчетом СМ следует убедиться, что она удовлетворяет следующим основным требованиям:
1. События правильно пронумерованы, т. е. для каждой работы (i, j) i0,8);
• под критические (0,6 < KH(i,j) < 0,8);
• резервные ( KH (i,j) < 0,6).
В результате перераспределения ресурсов стараются максимально уменьшить общую продолжительность работ, что возможно при переводе всех работ в первую группу.
При расчете этих показателей целесообразно пользоваться графиком СМ.
Итак, для работ критического пути (1,2), (2,4), (4,5),(5,10),(10,11) Kн=1.
Для других работ:
Kн(2,3) = 1 - (6: (33 - (6 + 9)) = 1- 0,33 = 0,67
Kн (4,9) - 1 - (5: (33 - (6 + 3 + 9)) = 1 - 0,33 = 0,67
Kн (5,8) = 1 - (2: (33 - (6 + 3 + 6 + 9)) = 1 - 0,22 = 0,78 и т.д.
В соответствии с результатами вычислений Кн для остальных работ, которые представлены в последней графе табл.1, можно утверждать, что оптимизация СМ возможна в основном за счет двух резервных работ: (6,11) и (2,5).
Сетевое планирование в условиях неопределенности.
Продолжительность выполнения работ часто трудно задать точно и потому в практической работе вместо одного числа (детерминированная оценка) задаются две оценки — минимальная и максимальная.
Минимальная (оптимистическая) оценка tmin(i,j) характеризует продолжительность выполнения работы при наиболее благоприятных обстоятельствах, а максимальная (пессимистическая) tmin(i,j) — при наиболее неблагоприятных. Продолжительность работы в этом случае рассматривается, как случайная величина, которая в результате реализации может принять любое значение в заданном интервале.
Такие оценки называются вероятностными (случайными), и их ожидаемое значение tox оценивается по формуле (при бета- распределении плотности вероятности):
tож(i,j)=(3tmin (i,j) + 2t max(i,j)): 5.
Для характеристики степени разброса возможных значений вокруг ожидаемого уровня используется показатель дисперсии S2:
S2 (i,j) = (t max (i,j) – t min (i,j) 2 :5 2 == 0.04 ( t max (i,j) – t min (i,j)2
На основе этих оценок можно рассчитать все характеристики СМ, однако они будут иметь иную природу, будут выступать как средние характеристики.
При достаточно большом количестве работ можно утверждать (а при малом — лишь предполагать), что общая продолжительность любого, в том числе и критического, пути имеет нормальный закон распределения со средним значением, равным сумме средних значений продолжительности составляющих его работ, и дисперсией, равной сумме дисперсий этих же работ.
Кроме обычных характеристик СМ, при вероятностном задании продолжительности работ можно решить две дополнительные задачи:
1) определить вероятность того, что продолжительность критического пути tкр не превысит заданного директивного уровня Т;
2) определить максимальный срок выполнения всего комплекса работ Т при заданном уровне вероятности р.
Первая задача решается на основе интеграла вероятностей Лапласа Ф(г) использованием формулы:
P (t kp < T) = 0,5 + 0,5 Ф(z),
Где нормированное отклонение случайной величины: z = (Т - tKp)/S Kp;
SKp — среднее квадратическое отклонение, вычисляемое как корень квадратный из дисперсии продолжительности критического пути.
Соответствие между z и симметричным интегралом вероятностей приведено в табл. 2. Более точно соответствие между этими величинами (когда z вычисляется более чем с одним знаком в дробной части) можно найти в специальной статистической литературе.
При достаточно большой полученной величине вероятности (более 0,8) можно с высокой степенью уверенности предполагать своевременность выполнения всего комплекса работ.
Для решения второй задачи используется формула:
Т = t ож (Lkp )+ z *S kp
Таблица. Фрагмент таблицы стандартного нормального распределения
|z |Фz |z |Фz |
|0,1 |0,0797|1,5 |0,8664|
|0,2 |0,1585|1,6 |0,8904|
|0,3 |0,2358|1,7 |0,9104|
|0,4 |0,3108|1,8 |0,9281|
|0,5 |0,3829|1,9 |0,9545|
|0,6 |0,4515|2,0 |0,9643|
|0,7 |0,5161|2,1 |0,9722|
|0,8 |0,5763|2,2 |0,9786|
|0,9 |0,6319|2,3 |0,9836|
|1,0 |0,6827|2,4 |0,9876|
|1,1 |0,7287|2,5 |0,9907|
|1,2 |0,7699|2,6 |0,9931|
|1,3 |0,8064|2,7 |0,9949|
|1,4 |0,8385|2,8 |0,9963|
Кроме описанного способа расчета сетей с детерминированной структурой и вероятностными оценками продолжительности выполнения работ, используется метод статистических испытаний (метод Монте-Карло). В соответствии с ним на вычислительной технике многократно моделируется продолжительность выполнения работ и рассчитывается на основе этого основные характеристики сетевой модели. Большой объем испытаний позволяет более точно выявить закономерность моделируемой сети.
|
