|
Свойства основной задачи линейного программирования связаны со свойствами выпуклых множеств.
Множество точек называется выпуклым, если оно вместе с любыми двумя точками содержит и их произвольную выпуклую комбинацию.
Геометрический смысл этого определения состоит в том, что множеству вместе с его произвольными точками полностью принадлежит и прямолинейный отрезок, их соединяющий. Примерами выпуклых множеств являются прямолинейный отрезок, полуплоскость, круг, шар, куб, полупространство и др.
Угловыми точками выпуклого множества называются точки, не являющиеся выпуклой комбинацией двух произвольных точек множества. Например, угловыми точками треугольника являются его вершины, круга - точки окружности, которые его ограничивают.
Множество планов основной задачи линейного программирования является выпуклым (если оно не пусто). Непустое множество планов называется многогранником решений, а всякая угловая точка многогранника решений - вершиной.
Если основная задача линейного программирования имеет оптимальный план, то целевая функция задачи принимает максимальное значение в одной из вершин многогранника решений. Если максимальное значение достигается более чем в одной вершине, то целевая функция принимает его во всякой точке, являющейся выпуклой линейной комбинацией этих вершин.
Непустое множество планов основной задачи линейного программирования образует выпуклый многогранник, каждая вершина которого определяет опорный план. Для одного из опорных планов (т. е. в одной из вершин многогранника решений) значение целевой функции является максимальным (при условии, что функция ограничена сверху на множестве планов).
Вершину многогранника решений, в которой целевая функция принимает максимальное значение, можно найти достаточно просто, если задача в стандартной форме содержит не более двух переменных.
Каждое из неравенств системы ограничений задачи геометрически определяет полуплоскость допустимых значений переменных соответственно с граничными прямыми . Если система неравенств совместна, то областью допустимых решений задачи являются выпуклое множество, которое называется многоугольником решений. Стороны этого многоугольника лежат на прямых, уравнения которых получаются из исходной системы ограничений заменой знаков неравенств на знаки точных равенств.
Решение задачи линейного программирования геометрическим методом включает следующие этапы.
1. На плоскости Х1ОХ2 строят прямые, уравнения которых получаются в результате замены в ограничениях знаков неравенств на знаки точных равенств.
2. Находят полуплоскости, определяемые каждым из ограничений задачи.
3. Строят многоугольник решений.
4. Строят вектор, который указывает направление возрастания целевой функции.
5. Строят начальную прямую целевой функции с1х1+с2х2=0 и затем передвигают ее в направлении вектора до крайней угловой точки многоугольника решений. В результате находят точку, в которой целевая функция принимает максимальное значение, либо множество точек с одинаковым максимальным значением целевой функции, если начальная прямая сливается с одной из сторон многоугольника решений, либо устанавливают неограниченность сверху функции на множестве планов.
6. Определяют координаты точки максимум функции и вычисляют значение целевой функции в этой точке.
Минимальное значение линейной функции цели находится путем передвижения начальной прямой с1х1 + с2х2 = 0 в направлении, противоположном вектору.
Многоугольником решений задачи является пятиугольник АВСДЕ, координаты точек которого удовлетворяют условию неотрицательности переменных и неравенствам системы ограничений задачи.
Для нахождения точек экстремума построим начальную прямую и вектор. Передвигая прямую в направлении вектора , найдем точку С, в которой начальная прямая принимает положение опорной прямой. Следовательно, в точке С целевая функция имеет максимальное значениеs. Решив систему уравнений, получим: х1 =3,4; х2 = 4,2; откуда найдем максимальное значение целевой функции.
По условию задачи начальная прямая параллельна прямой (2), так как коэффициенты при переменных х1, х2 пропорциональны: -2/-1 = 4/2 = 2. Следовательно, начальная прямая займет положение опорной прямой в точках В, С и в любой точке отрезка ВС, в которых принимает одно и то же максимальное значение. Для определения координат точки В решим систему двух линейных уравнений:
Максимальное значение целевой функции в точке В равно: .
Запишем множество оптимальных решений как линейную выпуклую комбинацию углов точек отрезка ВС.
Подставив координаты угловых точек, получим:
Подставляя любые значения а от 0 до 1, получим координаты множества точек отрезка ВС, в каждой из которых целевая функция принимает максимальное значение, равное 10.
Для нахождения минимального значения целевой функции задачи перемещаем начальную прямую в направлении, противоположном вектору . Начальная прямая займет положение опорной прямой в вершине Д, где х1 = 2, х2 = 0, а минимальное значение целевой функции равно:
Пример 2. Геометрический метод решения задачи линейного программирования рассмотрим на примере поставленной задачи и построенной модели коммерческой деятельности предприятия, представленной в разделе 2.1. Так как модель имеет только две переменные, то данную задачу можно решить геометрическим методом.
Построим на плоскости Х1ОХ2 многоугольник допустимых решений задачи. Для этого в неравенствах системы ограничений знаки неравенств заменим на знаки точных равенств.
Построив полученные граничные прямые, найдем соответствующие полуплоскости допустимых значений переменных и их пересечение
Направление стрелок от каждой граничной прямой определяется путем непосредственной подстановки в неравенство координат произвольно взятой точки, например (0,0), и при удовлетворении данного неравенства направляем стрелки в сторону контрольной точки, в противном случае - наоборот.
Полученное пространство решений есть многоугольник ABCDEF.
Угловые точки многоугольника решений имеют следующие координаты: А(0,25; 0,5), В(0,25; 1,75), С(0,5; 2), D(2; 2), E(3,(3); l,(3)). F(3,75; 0,5).
Для нахождения минимума и максимума целевой функции строим начальную прямую и вектор-градиент . Координатами вектора являются коэффициенты целевой функции при переменных хн и хв. Для построения графика целевой функции задаем произвольное значение . Если , то прямая проходит через начало координат. Для ее построения, полагая хн =1, получим xв= -0,(6), а при хв = 1, получим хн = -1,5. Полагая F(X=6), таким же образом построим линию целевой функции.
Вполне реально предположить, что полученное статическое решение устареет еще до момента его реализации. Поэтому следует предусмотреть динамический характер условий производства и продажи красок. Например, важно знать, как повлияет на оптимальное решение увеличение или уменьшение спроса, изменение рыночных цен или запасов исходного сырья.
|
